Bilangan Real {Real Number}

Dalam teori bilangan kita kenal yang namanya bilangan real (real number) atau sering juga disebut bilangan riil. Apa sebenarnya bilangan satu ini? Bilangan apa saja yang menjadi anggota bilangan real? Bilangan real bisa dibilangan bilangan nyata, punya nilai, nama, dan ada contohnya. Dan yang lebih penting, bilangan itu ada di muka bumi ini dan bisa digunakan dalam proses hitung menghitung. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf R (real)
Berikut contohnya

6

√3

-1234

2013

π

7/13

12,21

dari melihat contoh di atas kita bisa mengakatan bahwa yang namanya bilangan rasional itu terdiri dari

Bilangan Rasional	Bilangan bulat, ganjil, positif, negatif, pecahan, bilangan prima, dan lain sebagainaya. Contoh 3/4, 0.125, 0.32, dan sebagainya
Bilangan Irasional	Bilangan ini adalah bilangan real yang kalau nilai (hasil baginya) dihitung tidak akan pernah habis dan ketemu nilai presisinya. Mudahnya misal sobat bentuk dalam bilangan desimal tidak akan ada habisnya. Contohnya phi (π) yang nilainya 22/7, coba sobat hitung pembagian 22 dengan 7 hasilnya akan panjang sekali jika tidak sobat hitung bulatkan

Nah, ko kayaknya semua bilangan masuk tuh ke himpunan bilangan real (riil). Apa dong, yang bukan termasuk bilangan real? Bilangan yang tidak termasuk dalam himpunan bilangan real disebut bilangan imajiner (imaginary number). Ketika sobat melihat bilangan imajiner, sobat akan bingung. Mau dihitung nilainya ngga bisa, mau dikalikan, dibagi, ditambah, atau operasi juga tidak bisa, mau iseng-iseng diitung dengan kalkulator malah error keluarnya. Contoh bilangan imajiner adalah akar dari bilangan negatif, √-13

Sifat Bilangan Real
Untuk setiap bilangan real a,b,c berlaku sifat

• Sifat Komutatif Penjumlahan dan Perkalian
  a + b = b + a ; a x b = b x a
• Sifat Asosiatif
  (a + b) + c = a + (b + c)
• Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahanab + ac = a (b + c)

Unsur Balik bilangan real, setiap bilangan real punya unsur baliknya. Contohnya bilangan 4 punya unsur balik -4, bilangan -3/4 punya unsur baliknya 3/4. Selain punya unsur balik, bilangan rela juga punya urutan yang bersifat

• Transitif
  Jika x < y dan y < z, maka x < z
• Kesesuaian Penambahan
  Jika sobat punya 2 bilangan x dan y, dimana x > y, maka ketika sobat menambahkan m di masing-masing angka akan menjadi x = m > y + m
• Kesusuaian Perkalian
  Jika bilangan di sifat sebelumnya sobat kalikan n (bilangan positif ) maka xn > yn, dan ketika sobat kali p (bilangan negatif) maka xp < yp

Demikian tadi sobat hitung penjelasan singkat mengenai apa itu bilangan real. Semoga pemahaman dasar kita mengenai bilangan tersebut lebih baik lagi.Semangat !!

Gaya Gesek Dan Manfaatnya

“Gaya Gesek”

↓

Apa Itu Gaya Gesek?
Sobat hitung pasti sudah banyak yang tahu apa itu gaya gesek. Pengertian sederhana dari gaya gesek sendiri adalah gaya (kekuatan) yang muncul karena benda yang bergerak dan arahnya berlawanan dengan arah gerak benda tersebut. Sederhananya bisa dibilang gaya yang menahan gerakan sebuah benda. Sobat bisa menemukan gaya ini dalam banyak fenomena sehari-hari. Misal sobat mendorong sebuah box ke arah depan maka akan ada gaya gesek yang arahnya ke belakang. Gaya ini disebabkan sentuhan 2 permukaan.

↓

Rumus Menghitung Gaya Gesek
Besarnya gaya (f) gesek yang bekerja pada suatu benda merupakan perkalian antara gaya normal N dengan koefisien gesek μ (miu).

F = N. μ“

Fina NamaMyu”

N = gaya normal
μ = koefisien gesek

Gaya normal sendiri adalah gaya yang tegak lurus dengan permukaan yang dilalui benda. Ketika pada posisi diam dan pada permukaan datar maka gaya normal sama dengan berat benda (w). koefisien
gesek μ sendiri ada dua.
Koefisien Gesek Statis (μs)
Jika gaya yang bekerja pada benda sama dengan atau kurang dari gaya gesek statis (N.μs) maka benda tersebut tidak akan bergerak. Lalu berapa besar gaya yang bekerja? Gaya gesek yang bekerja pada sistem tersebut senilai dengan gaya yang menarik benda.
Koefisien Gesek Kinetis (μk)
Nah, lain halnya jika gaya yang bekerja pada benda lebih dari gaya gesek statisnya. Benda tersebut akan bergerak dan besarnya gaya gesek yang bekerja tidak lagi gaya normal dikali koefisien gesek statis melainkan gaya normal dikali koefisien gesek kinetis

↓

Contoh Gaya Gesek di Kehidupan sehari-hari
Buat sobat hitung yang hobi naik motor pasti tahu kalau rem sangat penting saat berkendara. Mengerem adalah membuat gaya gesek. Gaya ini terjadi antar kampas rem dengan roda yang berguna untuk memperlambat laju kendaraan. Pesawat terbang juga mengalami gaya gesek dengan udara. Oleh karena itu, pesawat terbang bodynya dibuat searodinamis mungkin untuk mengurangi akibat gesekan dengan udara. Sobat ketika berjalan ternyata ada gesekan antara jalan dengan alas kaki yang menyebabkan sobat tidak terpeleset. Masih banyak lagi contoh gaya gesek yang ada disekitar kita. Coba sobat hitung amati dan temukan berbagai contoh lain di lingkungan sobat masing-masing.

↓

Manfaat Gaya Gesek
Kayaknya sudah sunatullah, sesuatu itu ada baiknya juga ada buruknya, ada manfaatnya juga ada kerugiannya. Gaya gesek sangat bermanfaat sekali bagi kita. Misal ngga ada gaya ini mungkin kita tidak bisa berjalan karena tanpa gaya gesek pasti akan terpeleset terus. Gaya gesek pada rem sangat vital untuk keamanan pengemudi dan penumpang kendaraan macam mobil, bis, kereta, dan sebagainya. Gaya gesek juga ada yang merugikan. Berbagai mesin berusaha meminimalkan gesekan karena gaya gesek bisa mengikis permukaan komponen mesin dan sering menimbulkan panas yang berlebih.

↓

Contoh Soal
Sebuah benda masa 4 kg ditarik oleh gaya 50 N. Jika koefisien gesekan statisnya adalah 0,8 dan koefisien gesek kinetisnya adalah 0,4. Berapakah gaya gesek yang dialami oleh benda tersebut?Jawaban :
- kita cek dulu apakah benda tersebut bergerak atau tidak. Kita bandingka Gaya gesek statis dengan gaya yang menariknya Fs = N. μs = m.g μs = 4. 10. 0,8 = 32 N
karena gaya yang menarik benda (50 N) lebih besar dari gaya gesek statis maka benda bergerak. Gaya gesek yang bekerja adalah gaya gesek kinetis sebesar :
Fk = N.μk = 40. 0,4 = 16 N

Gaya Pegas Fisika

Pegas merupakan benda berbentuk spiral yang terbuat dari logam. Pegas sendiri mempunyai sifat elastis. Maksudnya ia bisa mempertahankan bentuknya dan kembali ke bentuk semula setelah diberi gaya. Gaya pegas dapat didefinisikan sebagai gaya atau kekuatan lenting suatu pegas untuk kembali ke posisi atau bentuk semula.

Elastisitas pada pegas
Sobat pernah nonton fantastic four? Salah satunya tokohnya adalah ReedRichards, seorang manusia karet yang elastis. Ternyata pegas juga sama seperti Reed Richards, elastis. Apa sih elastis itu? Elastis adalah kemampuan benda untuk kembali ke bentuk semula setelah gaya yang bekerja padanya dihilangkan. Ketika pegas ditarik yang berarti ada gaya luar yang bekerja maka ia akan molor atau memannjang. Ketika gaya luar itu dihilangkan ia akan kembali ke bentuk semula.

Hukum Hooke (Gaya Pegas)
Robert Hooke seorang Ilmuwan asal inggris meneliti tentang gaya pegas. Imuwan berambut keriting ini menelurkan hukum hooke yang menyatakan Jika pada sebuat pegas bekerja sebuah gaya luar, maka pegas akan bertambah panjang sebanding dengan besarnya gaya yang diberikan.

Hukum Hooke dirumuskan

F = k .Δx“Fitri Kurang AsyiX”
F = w (gaya berat) = gaya pegas = gaya yang bekerja pada pegas
k = konstanta pegas
Δx = pertambahan panjang

Energi Potensial Pada Pegas
Sebuah pegas yang diberi gaya entah itu ditarik atau ditekan akan memiliki energi potensial (energi karena kedudukan).Usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk menarik sebuah pegas sehingga bertambah panjang sebesar x besarnya sama dengan perubahan energi potensial dari pegas. coba sobat hitung amati grafik hubungan gaya F dengan delta x berikut

Luasan di bawah yang diarsir merupakan usaha = perupahan energi potensial. Jadi untuk menghitung energi potensial bisa dirumuskan

Contoh dan Aplikasi Gaya Pegas Sehari-hari
Gaya pegas sangat luas sekali aplikasi dan manfaatnya di kehidupan sehari-hari. Lihat pulpen yang setiap hari sobat gunakan untuk menulis di sekolah, sebagian ada yang menggunakan pegas untuk menarik keluar masuk mata (ujung) pulpen. Contoh lainnya seperti pada mainan anak-anak seperti pistol-pistolan, sistem rem pada sepeda motor terutama yang tromol, jam, suspensi (shockbreaker), dan masih banyak lagi.


Rangkaian Pegas
Sama seperti hambatan, pegas juga bisa dirangkai (rangkaian pegas). Bentuk rangkaian pegas akan menentuka nilai konstanta pegas total yang akhirnya akan menentukan nilai dari gaya pegas.


1. Rangkaian Pegas Seri
Jika rangkaian seri makan konstanta pegas totalnya adalah



jika ada n pegas identik (konstanta k) maka rumus Konstanta totalnya tinggal Ks = K/n
2. Rangkaian Pegas Pararel
Jika rangkaian pegas pararel maka total konstantanya sama dengan jumlah seluruh konstanta pegas yang disusun pararel



Ks = K1 + K2 + … + Kn
Contoh Soal Gaya Pegas1. Sobat punya pegas dengan konstanta pegas sebesar 200 N/m. Jika pegas tersebut sobat dudukin hingga tertekan sejauh 10 cm. Maka berapa energi yang digunakan?
jawaban : E = 1/2 k (Δx)^2 = 1/2 x 200 x 0,1 x 0,1 = 1 Joule
Sekian dulu gaya pegas dari noorabelajar.com semoga bermanfaat..

Permutasi Dan Kombinasi Peluang Matematika

Ketika kita duduk di kelas XI pasti kita belajar matematika mengenai peluang, kombinasi, dan permutasi. Apa itu permutasi dan apa pula itu kombinasi? berikut rangkum mengenai 2 hal tersebut berikut rumusnya masing-masing

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi
Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan.

Contohnya ,dalam kelas terdapat 3 orang yang akan dipilih 2 orang untuk menjadi ketua dan wakil ketua kelas. Banyak cara untuk memilih 2 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, ketiga orang kandidat itu adalah A, B, dan C.

Posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara, posisi wakil ketua dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 2 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 = 6 cara. Salah satu ciri permutasi yaitu ada posisi yang berbeda yang akan ditempati.

Rumus Permutasi
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur k adalahdengan k <= n

Contoh Soal
1. Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?
jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)



2. Misal sobat rumushitung beri 5 angka 3,4,5,6, dan 7 dan rumushitung minta sobat untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan yang lebih dari 400 yang bisa sobat hitung buat?
Jawab :

• karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7
• karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angk dan 3 angka
• jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka

4

4

3

Permutasi Unsur-unsur yang sama

Misal sobat kita kasih kata 5 huruf RUMUS, maka akan ada permutasi yang berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yang sebenarnya merupakan 1 permutasi. Jika kita masukkan ke rumus yang biasa maka, permutasi 5 dari 5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Tapi coba sobat amati diantara 120 permutasi pasti ada yang berulang (double) karena ada 2 huruf yang sama. Berapa sebenarnya jumlah permutasi yang benar? Jumlah permutasi jika ada unsur-unsur yang sama bisa dicari dengan rumus

jadi dari 5 huruf R U M U S bisa dibuat susunan sebanyak = 5! / 2! = 3 x 4 x 5 = 60 cara. Misal huruf pembentuk MATEMATIKA maka = 10! / 2! 3! 2! = 151.200
2! 3! 2! –> 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T
Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu.
contoh :
5 orang calon presiden tahun 2014 duduk disebuah meja berbentuk lingkaranuntuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
Jawab : (5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x4 = 24
lainhalnya jika yang akan dicari permutasinya adalah objek-objek yang sejenis, misalnya sobat punya 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya?
Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12

Kombinasi
Kalu sobat diminta memilih 3 power ranger diantara 5 ranger untuk berangkat ke medan perang ranger apa saja yang akan sobat pilih? Hehehe. Ketika sobat memilih 3 ranger, berarti sobat akan membuat kombinasi. Dalam kombinasi ini tidak pandang yang namanya posisi. Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Kalau permutasi memperhatikan posisi kalau kombinasi tidak. Misal sobat pilih ranger merah, biru, dan hijau ini akan sama dengan biru, hijau, dan merah atau, hijau, biru, dan merah. Itulah yang disebut kombinasi. Jadi banyaknya kombinasi ranger yang bisa sobat pilih bisa.
dicari dengan rumus

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi
Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain)

Jawab :



Jadi Antonio Conte punya 167.960 kombinasi . Selain soal-soal di atas ada soal yang sering keluar mengenai permutasi dan kombinasi yaitu soal jabat tangan.

Contohnya, misal dalam sebuha pesta hadir 60 orang dan masing-masing saling berjabat tangan. Berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?

untuk menjawab soal permutasi dan kombinasi tersebut mudah, kita pakai logika saja.Jika semua saling bersalaman satu sama lain maka 1 orang akan bersalaman dengan 59 orang.

Jika ada 60 orang maka 59 x 60. Akan tetapi ketika A jabat tangan dengan B akan sama dengan B jabatan dengan A jadi harus dibagi 2. Jumlah jabat tangan yang terjadi = 59 x 60 /2 = 1770 jabat tangan.

Okey sobat hitung itulah tadi sedikit mengenai peluang, permutasi dan kombinasi. Semoga bermanfaat. Semangat Belajar

Rumus Simpangan Baku

Simpangan baku atau juga yang sering kita kenal dengan nama deviasi standard (standard deviation) adalah ukuran persebaran data. Simpangan ini bisa diartikan jarak rata-rata penyimpangan antara nilai hasil pengukuran dengan nilai rata-rata .


Ketika kita belajar statistika SMA kelas XI kita pasti jumpai yang namanya simpangan baku. Istilah simpangan baku sendiri pertama kali dikeluarkan oleh Karl Pearson pada tahun 1984. Ia merupakan pendiri institute of Statistika University College London. Bagaimana mencari rumus simpangan baku? Berikut penjelasan yang rumus hitung buat

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal
Jika sobat mempunyai sekumpulan data kuatitatif tunggal (tidak berkelompok) yang dinyatakan oleh x1,x2,x3,….,xn maka dapat dicari simpangan bakunya dengan rumus

untuk data sample menggunakan rumus

untuk data populasi menggunkan rumus

contoh soal
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?
Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9





Kita masukkan ke rumus

=



Jika dalam soal menyebutkan sample (bukan populasi) misalnya dari 500 penduduk diambil 150 sample untuk diukur berat badannya… dst, maka menggunakan rumus untuk sample (n-1)

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok
Misal sobat punya data kelompok yang dinyatakan dengan x1,x2,x3,…,xn dan masing-masing mempunyai frekuensi fi,f2,f3,…,fn maka simpangan bakunya dapat dicari dengan rumusuntuk sample menggunakan rumus

untuk populasi menggunakan rumus

Jika data kelompok tersebut terdiri dari kelas-kelas maka sobat harus mencari nilai tengah dari masing-masing kelas untuk kemudian dicari rata-ratanya dengan cara mecari rata-rata data berkelompok. Untuk lebih jelasnya mari simak contoh di bawah ini

Contoh Soal
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut



hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut





2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku




Sekian dulu rumus simpangan baku dari noorabelajar.com, semoga bermanfaat..

Rumus Trigonometri Matematika SMA

Buat sobat hitung yang masih duduk di sekolah menengah atas baik jurusan Ipa maupun Ips kelas 11, berikut ini rumushitung buatkan rangkuman rumus trigonometri. Rangkuman ini mulai dari rumus trigonometri penjumlahan sudut, trigonometri sudut ganda, hingga perkalian sinus cosinus. Buat sobat yang kesulitan belajar trigonometi mungkin bisa membantu mengatasi kesulitannya

Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan selisih sudut

Cos (α+β) = Cos α Cos β – Sin α Sin β Cos (α-β) = Cos α Cos β + Sin α Sin β

Sin (α+β)= Sin α Cos β + Cos α Sin β Sin (α-β) = Sin α Cos β – Cos α Sin β

————-- Tan α + Tan β Tan (α+β) = —————— ————– 1 – Tan α.Tan β ————– Tan α – Tan β Tan(α-β) = ——————— ————– 1 + Tan α.Tan β

Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Sin 2α = 2 Sin α Cos α

Cos 2α = Cos 2α – Sin 2α karena Sin 2α + Cos 2α = 1, maka Cos 2α dapat juga ditulis Cos 2α = 2Cos 2α – 1 Cos 2α = 1 – 2Sin 2α

———– 2 Tan α Tan 2α = ———–———- 1 – Tan2α

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Cosinus

Cos α + Cos β = 2 Cos ½ (α+β) Cos ½ (α-β) Cos α – Cos β = -2 Sin ½ (α+β) Sin ½ (α-β) Sin α + Sin β = 2 Sin ½ (α+β) Cos ½ (α-β) Sin α – Sin β = 2 Cos ½ (α+β) Sin ½ (α-β)

Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus

2 Cos α Cos β = Cos (α+β) + Cos (α-β) -2 Sin α Sin β = Cos (α+β) – Cos (α-β) 2 Sin α Cos β = Sin (α+β) + Sin (α-β) 2 Cos α Sin β = Sin (α+β) – Sin (α-β)

Contoh Soal dan Pembahasan
1. Hitunglah nilai dai Cos 75^o
jawab : Dengan menggunakan rumus trigonometri penjumlahan sudut,
Cos 75^o = Cos (30^o+45^o) = Cos 30^o Cos 45^o – Sin 30^o Sin 45^oCos 75^o = (½√3) . (½√2) – (½) .(½√2)
Cos 75o = ¼√6 - ¼√2 = ¼ (√6-√2)
2. Diketahui cos(A – B) = 3/5 dan cos A. cos B = 7/25
Tentukan nilai tan A tan B
Jawab:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
sin A sin B = cos (A – B) – cos A cos B
sin A sin B = 3/5 -7/25 = 15/25-7/25
sin A sin B = 8/25
tan A tan B = sin A sin B / cos A cos B
tan A tan B = 8/25 / 7/25 = 8/25 x 25/7 = 8/7


Contoh Soal tambahannya menyusul yach… .. Semoga
bermanfaat Rumus Trigonometri SMAnya..